Нестандартные, эвристические задачи.
Так, когда учащиеся затрудняются решить с помощью составления уравнения задачу «К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число» ([21], № 1254), то в качестве вспомогательных задач можно предложить следующие:
К числу х приписали справа цифру 4. Представьте полученное число в виде суммы, если х: а) двузначное число; б) трехзначное число.
К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у: а) двузначное число; б) трехзначное число.
Для приобретения навыков решения довольно сложных задач нужно приучать школьников больше внимания уделять изучению полученного решения. Для этого можно предложить учащимся видоизменять условия задачи, чтобы закрепить способ ее решения, придумывать задачи аналогичные решенным, более или менее трудные, с использованием найденного при решении основной задачи способа решения.
Например, решив задачу «В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?» ([21], №1245), нужно задать учащимся вопросы: если вместо 10% взять 20%, 30%, а%? Какой вывод можно сделать?
Систематическая работа по изучению способов решения задач помогает учащимся не только научиться решать задачи, но и самим их составлять.
Так, после решения задачи «Докажите, что уравнение х2 – у2 = 30 не имеет решений в целых числах» ([21], № 1272), можно предложить учащимся попытаться сформулировать рассмотренную задачу в общем виде. Это будет выглядеть так: «Докажите, что уравнение х2 ‑ у2 = 4р + 2 (р — простое число) не имеет решения в целых числах».
Конструирование задач — интересное занятие, один из верных способов решать задачи.
Умение учащихся составлять нестандартные задачи, решаемые нестандартными способами, свидетельствует о культуре их мышления, хорошо развитых математических способностях.
Мы думаем, учитель должен постоянно помнить, что решение задач является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения, поиск других способов решения, закрепление в памяти тех приемов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приемов, обобщение данной задачи — все это дает возможность школьникам учиться на задаче.
Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт, сформировать умения самостоятельно, и творчески применять полученные знания.