Методика введения понятия обратной функции и функции вида y=√¯х в VIII классе
Понятие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходится вводить их посредством явного определения. Роль обратной функции велика. Использование обратной функции необходимо для введения большого количества классов основных элементарных функций: корня k-й степени, логарифмической , обратных тригонометрических функций. При изучении обратной функции выясняется зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции – это необходимо для того, чтобы обосновать существование обратной функции и подробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратной функций.
Преподаватель может подвести учащихся к понятию обратной функции, поставив новую для учащихся познавательную задачу.На основе усвоенного учениками важного представления, входящего в понятие функции,— однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции провести следующее рассуждение:
«Каждому допустимому значению переменной x
равенство y
=
f
(
x
)
ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины y. Однако в некоторых случаях соотношение y
=
f
(
x
)
можно рассматривать и как такое равенство, которое каждому допустимому значению переменной величины y ставит в соответствие вполне определённое значение переменной величины x
.» Далее следует пояснение данного сопоставления на примере.
Пример 10. Равенство y
=2
x
-1
каждому значению y
ставит в соответствии следующее значение x
:
x
=(
y
+1)/2.
например при у=1 х=1
; при у=2 х=1,5;
при у=3 х=2
и так далее. Поэтому можно сказать что равенство y
=2
x
-1
определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: : x
=(
y
+1)/2.
«Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х
, а зависимую переменную буквой у
, то получим формулы:
y
=
f
(
x
)
, и х=φ(у)
во второй формуле у выступает в качестве аргумента, а х – в роли функции. Переписав в привычном виде мы получим у=φ(х).
Определенная таким образом функция у=φ(х)
называется обратной по отношению к функции y
=
f
(
x
).
Если функция y
=
f
(
x
)определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y
=
f
(
x
),
надо график функции y
=
f
(
x
)
подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y
=
x
.»
Методика введения понятия функции вида
y
=√¯х
основана на на аналогичном примере:
Пример 11. Пусть длина стороны квадрата равна а
см, а его площадь S cм². Каждому, значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от его стороны выражается формулой S
=
a
²,
где
a
>
0
. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны а. Зависимость стороны квадрата от eго площади выражается формулой a
=
√¯
S
Формулами S
=
a
²,
где
a
>
0,
a
=
√¯
S
задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является сторона квадрата a
, а во втором — площадь S
.
Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х