Нестандартные задачи.
Наибольшие затруднения у школьников, как правило, вызывают решения нестандартных
задач, т.е. задач, алгоритм решения которых им неизвестен. Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически, одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по целой теме.
Однако одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных задач учащихся, или нет. Так, задачи на нахождение суммы конечного числа членов арифметической прогрессии для школьников начальных классов - нестандартные, а для старшеклассников - стандартные. Любая задача, взятая изолированно, сама по себе является нестандартной, но если с ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становится стандартной. В основе решений многих из них лежат: принцип Дирихле, понятие инварианта, запись чисел в различных системах счисления, теория графов, свойства геометрических и магических фигур, правила построения уникурсальных кривых, признаки делимости чисел, законы математической логики и арифметических операций, правила комбинаторики и т.п.
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Это чрезвычайно простое положение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел. В самой простой и шутливой форме принцип Дирихле выглядит так: «Если в п клетках сидит не менее т + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит не менее двух кроликов». Более строго он формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема
1 (принцип Дирихле). Пусть дано п классов и т предметов. Если т > n, то при отнесении каждого из m предметов к одному из п классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.
Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждый класс попадало не более одного предмета, то всего в рассматриваемых классах было бы не более п предметов, что противоречило бы условию (т > п). Теорема доказана.
Пример 1.
В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них оказались два шарика одного цвета?
Решение. Достанем из мешка три шарика. Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров - это очевидно и противоречит тому, что мы достали три шарика.
С другой стороны, ясно, что двух шариков может и не хватить.
В этой задаче «кроликами» являются шарики, а «клетками» - цвета: белый и черный.
Ответ: 3 шарика.
Пример 2.
Докажите, что в любой компании из 7 человек есть двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании.
Доказательство. Вариантов числа знакомых всего 7: от 0 до 6. При этом если у кого-то 6 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых. Так что есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.
Пример 3.
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Доказательство. Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника, поэтому в силу принципа Дирихле равносторонний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Теорема 2
(обобщенный принцип Дирихле). Если в n классах находится не менее к * n + 1 предметов, то в каком-то из данных классов есть по крайней мере к + 1 предмет.
Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждом классе было не более к + 1 предмета, то во всех классах было бы не более кп предметов, что противоречило бы условию. Теорема доказана.
Пример 4.
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Решение. 25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем «клеткам»-сортам. Так как 25 = 3-8 + 1, то в силу теоремы 2 для п - 3, к = 8 и получим, что в какой-то «клетке»-сорте не менее 9 ящиков.
Пример
5.
В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.