Нестандартные задачи.
Доказательство. Разобьем данный квадрат на 25 квадратов со стороной25 см. По обобщенному принципу Дирихле в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 брошенной.
Теорема 3.
Если сумма n чисел равна S, то среди них есть как число, не большее S/n, так и число, не меньшее S/n.
Доказательство следует из обобщенного принципа Дирихле.
Пример 6.
Пятеро друзей получили за работу 1 550 рублей. Каждый из них хочет купить себе фотоаппарат ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них не удастся это сделать.
Решение. Если бы каждый из друзей мог купить фотоаппарат, то у них в сумме было бы не менее 5320 = 1600 рублей. Друзья получили 1 550 рублей, следовательно, по крайней мере один из них не сможет купить фотоаппарат.
ИНВАРИАНТ
. Главная идея применения инварианта заключается в следующем. Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять определенные операции, и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этих операций?». Чтобы ответить на него, строят некоторую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значения этой величины для двух указанных объектов не равны, то ответ на заданный вопрос отрицателен.
Пример
7.
На доске написано 11 чисел - 6 нулей и 5 единиц. Предлагается 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и, если они были одинаковы, дописать к оставшимся числам один ноль, а если разные - единицу. Какое число останется на доске?
Решение. Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, какой она и была вначале. Действительно, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций оставшееся число должно быть нечетным, т.е. равным 1.
Ответ: 1.
В этом примере инвариант — это четность суммы написанных чисел.
Главное в решении задач на инвариант - придумать сам инвариант. Это настоящее искусство, которым можно овладеть лишь при наличии известного опыта в решении подобных задач. Здесь важно не ограничивать фантазию. При этом следует помнить, что: а) придумываемые величины должны быть инвариантны; б) эти инварианты должны давать разные значения для двух данных в условии задачи объектов; в) необходимо сразу определить класс объектов, для которых будет определяться наша величина.
Пример
8
. На плоскости расположено 11 шестеренок (рис. 1), соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
Решение. Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки. Третья - снова по часовой, четвертая - против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «четные» — против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие. Значит, шестеренки одновременно вращаться не могут. и др.
МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
. Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников математики для начальных классов.
Магические фигуры делятся на плоские и пространственные, так как существуют магические квадраты, треугольники, прямоугольники, многоугольники и круги, а также и магические кубы.
Магические (волшебные) квадраты -квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Существуют различные классификации магических квадратов. Квадраты делятся - в зависимости от прогрессии, которую образуют числа, -на арифметические и геометрические; в зависимости от числа клеток вдоль противоположных его сторон - на нечетные (3, 5, 7, 9 и т.д.), нечетно-четные (6, 10, 14, 18 и т.д.) и четно-четные (4, 8, 12, 16 и т.д.); в зависимости от расстановки чисел в квадрате - на магические обычные, магические с особыми свойствами и сверхмагические (супермагические). Легко показать, что магических квадратов 2x2 нет. Существует только один магический квадрат 3x3 (остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями), магических квадратов 4x4- 800, 5x5-почти 250 тысяч. Однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.